集合の演習(差集合・補集合・全体集合)

スポンサーリンク

プロローグ

チョロ
チュウチュウ!(この前は集合の足し算と掛け算を習ったから、今度は引き算も知りたいチュウ!)
キュー
お、勉強熱心やな!なら今回はワイが教えたるわ!

差集合

集合\(A\)から集合\(C\)に属する要素を引いて得られる集合を、\(A \setminus C\)または、単純に\(A – C\)と表現し、差集合と呼びます。

これだけでは分かりづらいので以前と同じように\(A\)は\(2\)の倍数の集合として、\(A=\{2,4,6,8,10,12,14\}\)、\(C\)は\(3\)の倍数の集合として、\(C=\{3,6,9,12\}\)を具体例に考えて見ましょう。

すると集合を表すベン図は以下のようになりますね。

ここから\(A \setminus C\)を求める場合、\(A\)の要素である、\(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)から\(C\)の要素である\(\{3,6,9,12\}\)を引いていきます。

\(\{3,9\}\)に関しては\(A\)の要素には存在せず、無い袖は振れないしかり、無い物は引けないため、無視してしまって問題ありません

\(A\)にも\(C\)にも存在する\(\{6,12\}\)(\(A\)と\(C\)の積集合)を\(A\)から消去し、残った要素である\(\{2,4,8,10,14\}\)が答えとなります。

ここで気をつけなければならないことが一つあり、集合における基本法則で加算、乗算の場合は交換法則が成り立ちましたが、差集合においては成り立ちません

ためしに\(C \setminus A\)を見てみましょう。

\(C\)の要素である\(\{3,6,9,12\}\)から、\(A\)の要素の\(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)を引くため、先ほどと同様に\(A\)と\(C\)の共通部分、積集合だけを引けば答えが出てきます。

\(\{3,6,9,12\}\)から\(\{6,12\}\)を引くと残るのは\(\{3,9\}\)だけになりますね。

このことから、差集合のときは\(A \setminus C \neq C \setminus A \)となるわけです。

キュー
普通の引き算でも\(5-2\)と\(2-5\)は同じにならんやろ?
チョロ
チュウ!(確かにでチュ!)

全体集合と補集合

数の集合のページでも少し紹介しましたが、全体の大きな集合があり、その中の集合について考えるときに、それ以外の要素を補集合と呼びます。

\(1\)から\(14\)の要素を考え、\(A\)を\(2\)の倍数とするとき、補集合\(\overline{A}=\{1,3,5,7,9,11,13\}\)となりましたね。

ここで、先述した全体の大きな集合全集合(\(U\)\(=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}\))と考えることができます。

そして差集合の計算方法を用いれば、\(\overline{A}=U \setminus A\)

\(A=U \setminus \overline{A}\)

となることが分かります。

エピローグ

キュー
全体集合からある部分集合の補集合を引いてやれば部分集合になるし、部分集合を引いてやればその部分集合の補集合になるわけやな。
チョロ
チュ~(言葉では分かりにくいけど、図に描くとやっぱり分かりやすいチュ。)
スポンサーリンク