[基礎数学]数の考察

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プロローグ

チョロ
チュ!チュウ!!(ブンッブン!!)

モナ
ニャ”!?危ないニャ!!なんでそんな勢いよくヒマワリの種を投げているニャ?

チョロ
チュウチュウ!(今度ある体力測定のヒマワリの種投げの練習チュウ!)

モナ
ニャるほど・・・人間界のボール投げみたいなものかニャ。

チョロ
チュウチュウ!(どうやって投げたら遠くまで投げられるか色々試してるチュウ!)

モナ
それニャら数学的に考えると良い答えが出るニャ!

数を用いた考察

数学の学問は事象を数に置き換えて分析し、より効率の良くなる答えを求める学問です。

例えば体力測定でのボール投げを想像してみましょう。

より良い結果を出すために、投げる速さ(速度)は同じでも、投げる時に大体どの角度で投げればより一層遠くまで飛ぶだろうと考えた事はないでしょうか?

実はその答えも数学によって求める事ができます。

今回は計算過程を重視するわけではないので、計算式が見たくない方はこちらより、最後のまとめまで飛ばして下さい。

ここでは簡単な例として、投げる時の速度は一定の秒速30メートル(\(30m/s\))で固定し、投げる角度\(θ\)が変わる事で飛距離がどれくらい変わるのかを見て行きましょう!

便宜上、高校で学ぶ三角関数と呼ばれる概念を使いますが、後ほど三角関数の分野で分かりやすく説明するため、今回は「こんなもんか~」くらいに留めておいてください。

まず物を斜め方向に投げるわけですが、斜めに投げると分かりづらいので、その動きを横(\(x\)軸)と縦(\(y\)軸)にそれぞれ分けてあげましょう。

そうすると、横には\(30cosθm/s\)の早さで移動することが分かります。

次に縦ですが、私たちが例えばトマトを上に向けて放り投げると、いずれ落ちてきますよね。

これは重力の作用によるもので、地球とトマトがお互いにひっぱり合っているから起こる現象です。

この事も今回考慮しないといけません。

物を投げてから落ちてくるまでの時間は、重さにかかわらず一定で\(\frac{2v_0}{g}\)秒(\(s\))と相場は決まっています。

\(v_0\)は初速度で今回の場合\(30sinθ\)、\(g\)は重力加速度と呼ばれるもので、今回は簡単に計算するために\(10\)としておきましょう。

すると秒数は\(6sinθ\)秒(\(s\))となるわけですね。

つまりボールを投げてから地面に落ちる間までの時間は\(6sinθ\)秒(\(s\))で、その間に秒速\(30cosθm/s\)進むわけです。

こう書いてみるとアルファベットや記号ばかりで気持ち悪いかもしれませんが、中身は数字である事に変わりありません。

ここまでくれば後1歩で、小学生のころに習った距離の求め方です。

距離は時速×時間で求められるため、単純にこの二つの値を掛け算してあげればいいだけです。

そうすると、距離=\(180cosθsinθm\)と出ます。

\(sinθ\)と\(cosθ\)は\(θ\)(投げる時の角度)の値で大きく変わりますが、有名角である\(0°\)、\(30°\)、 \(45°\)、 \(60°\)、\(90°\)でみてみると、値はそれぞれ以下のようになります。

\(θ\)[°] \(0°\) \(30°\) \(45°\) \(60°\) \(90°\)
\(cosθ\) \(1\) \(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt[]{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(sinθ\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt[]{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\) \(1\)

試しにそれぞれ代入してみましょう。

\(90°\)の場合は\(cosθ\)の値が\(0\)となってしまい、掛け算なので最終的な値も\(0\)となってしまいます。

これは物を真上に投げた場合、風やその他の要因が邪魔しない限り投げられた物はそのまま落ちてくる事象に当てはまりますね。

逆に\(0°\)の場合は真横に投げる状況を想像します、ただし投げる高さは私たちが普段投げるようなある程度の高さからではなく、地面すれすれのところです。

それに加えて、球が地面に接触した後に転がらないような粘着質な何かで出来ているようなシチュエーションです。

ちょっと想像しづらいかもしれませんが、要するに最初から接触し、地面から飛び立つ事なく計測が終了してしまうのです。

よって移動できないため、移動距離は0になりますよね。

それ以外の角度はそれぞれ式に代入してみましょう。

\(30°\)の場合

\[距離=(180\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt[]{3}}{2})m≒78m\]

\(45°\)の場合

\[距離=(180\times\frac{\sqrt[]{2}}{2}\times\frac{\sqrt[]{2}}{2})m=90m\]

\(60°\)の場合

\[距離=(180\times\frac{3}{2}\times\frac{\sqrt[]{1}}{2})m≒78m\]

となる事が分かります。

今回は有名角のみで実行しましたが、有名角以外の値を入れてみても最終的に\(45°\)の場合が一番飛ぶ事が分かります。

数学の面白さ

世界中の様々な事象を一旦数字にして更に変形をし、その結果として生まれた数字をまた事象に置き換える

その時にどういった値が現れるか、その数字が何を意味しているのかを考える事が数学の醍醐味です。

こういった計算ができるようになると、どうすれば一番効率よくなるかと言った事が分かってしまいます。

より正確な結果を求めるには、計算ミスは許されず、都合の良い数字を用いてはいけないと言ったシビアさもあります(今回で言うところの重力加速度を10とした点など)が、計算によって求められた値が実生活に活かせると思うととても楽しくなってきます。

今回のページでは計算による説明が長くなってしまいましたが、

  • 計算でより良い結果を考察できること
  • 物を投げる時は\(45°\)が最適であること

の2つは最低でも覚えて頂ければ嬉しく思います。

エピローグ

チョロ
チュ~(運動したらおなかすいたでチュ)。

チョロ
チュ・・・(あれ・・・餌のヒマワリの種がないでチュ・・・)。

モナ
さっきチョロが全部投げ飛ばしてたニャ・・・

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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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