[高校数学]集合の演算(ド・モルガンの法則)

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プロローグ

キュー
せっかく和集合、積集合、補集合を勉強したから、今度はド・モルガンの法則も教えたるわ。
チョロ
チュウ?(ド・モルガン?)
キュー
せや、オーガスタス・ド・モルガンっちゅうイギリスの数学者が見つけた法則で今のコンピュータを含む電子回路にも大いに役に立っている法則やで。

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は以下の二つです。

\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)

ベン図に当てはめる

これらは主にベン図を用いて検証してみるのが分かりやすいでしょう。

\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)の検証

左辺

まずは\(\overline{A \cap B}\)をベン図で表したいと思います。

\(A \cap B\)が共通範囲を表すため、下図の様になります。

\(\overline{A \cap B}\)は、その補集合、つまりカバーする範囲を反転させるため、色塗りと白抜きの部分を入れ替えます。

この紫の範囲が\(\overline{A \cap B}\)の示す範囲になります。

右辺

次に\(\overline{A} \cup \overline{B}\)を示したいと思います。

\(\overline{A}\)と\(\overline{B}\)をそれぞれ図示してから\(\cup\)により和を求めたいので、まずは各補集合を図示します。

\(\overline{A}\)は

\(\overline{B}\)は

がそれぞれ示す範囲になります。

最後に和集合でそれぞれが示す範囲を足す

となります。

このことから、両辺の範囲が一致することが分かりますね。

\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)の検証

左辺

まずは\(\overline{A \cup B}\)を求めるために、\(A \cup B\)の範囲を図示ます。

その範囲を反転させることで、次のような範囲が得られます。

こちらが左辺の範囲になります。

右辺

\(\overline{A}\)と\(\overline{B}\)は一つ目の式の検証でも図示したとおり、

\(\overline{A}\)は

\(\overline{B}\)は

となります。

今度は\( \cap \)による積集合なので、共通する範囲のみを抜き出します。すると、次のような範囲になります。

これより、左辺と右辺の範囲が共通することが分かりました。

エピローグ

チョロ
チュ~!(和集合と積集合と補集合だけでこんな法則になるんでチュね。コンピュータでもこんな計算がよく行われているんでチュね!)
キュー
それだけやない、実はな、命題にも使うことができるんや。
チョロ
チュ?(命題?何でチュかそれは?)
キュー
簡単に言えば数式を使わずに言葉だけで説明してしまうってことや。
キュー
ある事象を\(A\)として、その否定を\(\overline{A}\)とするんや。例えば「私は女性である」が\(A\)だとしたら、\(\overline{A}\)は「私は男性です」になるな。
チョロ
チュウチュウ(なるでチュ)。
キュー
次に\(B\)を「私は右利きです」とすると\(\overline{B}\)は・・・
チョロ
チュウ!(「私は左利きです」になりまチュ!)
キュー
せやな。なら\(\overline{A} \cap \overline{B}\)はどうなる?
チョロ
チュウ(「私は男性でかつ左利き」になりまチュ。)
キュー
せやせや。ほんなら\(\overline{A \cup B}\)は?
チョロ
チュチュ・・・(ちょっと難しいでチュ・・・\({A \cup B}\)が「私は女性であるか、または右利き」でチュから、それの否定だと「私は女性ではなく、右利きでもない」になりまチュ。
キュー
せや。つまりどういうことや?
チョロ
チュ・・・!チュウ!!(えっと・・・あっ!「私は男性でかつ左利き」になったでチュ!)
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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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