逆関数

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今回は高校数学のおさらいになりますが1対1対応の関数における逆関数について説明します。

導入

モナ
今日は逆関数に関する勉強をするニャ。
チョロ
チュ?(逆関数?)
モナ
そうニャ。簡単に言ってしまえばある関数の\(x\)と\(y\)が入れ替わった関数が逆関数だニャ。
チョロ
チュ~・・・。(難しそうでチュ)

逆関数とは

例えば\(y = \frac{1}{3}x^3 \)のグラフを見てみましょう。

この式\(y = f(x)\)の\(x\)と\(y\)を交換したものが逆関数で、\(x = f(y)\)の形に変形し、更にこれを\(y = f^{-1}(x)\)としたときに\(f^{-1}(x)\)が\(f(x)\)の逆関数となります。

これだけではわかりづらいので、実際に\(y = \frac{1}{3}x^3 \)の逆関数を求めてみましょう。

まずは\(x\)と\(y\)を入れ替えて\(x = \frac{1}{3}y^3 \)の形にします。これが\(x = f(y)\)の形に当たりますね。

これを\(y\)について解いてみます。すると\(y = \sqrt[3]{3x}\)となります。これが\(y = f^{-1}(x)\)の形になります。これで逆関数を求められました。

では、このグラフを実際に書いてみましょう。

このグラフは、元の\(y = \frac{1}{3}x^3 \)の、直線\( y = x \)に関して線対称なグラフになっていることがわかります。

また、\(y = x^2 \)や\(y = |x|\)のように、一つの\(y_1\)に関して、二つの\(x_1,x_2\)が対応する場合は逆関数が存在しない点も注意しましょう。

一つの\(x\)を決めた場合に、\(y\)も一意に決まるような関数\(y = f(x)\)について、

\(y = f(x\)の逆関数は\(x=f(y)\)として\(y=f^{-1}(x)\)の形にしたものをさす。

更に深く学びたい方へ

逆関数は大学数学を勉強する上では必須の知識になります。

知識が曖昧な方は高校の教科書に立ち返って勉強しなおしましょう。

教科書が無い場合は以下の本で学習できます。

まとめ

チョロ
チュ!(ただ入れ替えるだけなら簡単そうでチュ!)
モナ
入れ替える前の\(f(x)\)と入れ替えた後の\(f^{-1}(x)\)が\(y = x\)に関して線対称なことも忘れちゃいけないニャ!
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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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