数の種類(虚数・複素数)

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チョロ
チューチュー(今までいろんな数字を勉強しててちょっと思ったんでチュけど・・・)

モナ
どうしたニャ?

チョロ
チュウ?(同じ数を二回かけた場合って、絶対にプラスにしかならないチュウ?)

モナ
ニャ・・・そこに気付くとは、なかなかやるニャ。

チョロ
チュウ?(他にも、数直線上で北と南だけじゃなくて東と西も表すことってできないっチュ?)

モナ
ムムム・・・!今回はちょっと難しい話にニャるけど、虚数について教えるニャ!

虚数

今まで触れてきた数はすべて数直線上に表せて、実際に存在する実数と呼ばれるものでした。

しかし、数の中にはその数直線上に表せない数、「虚(むな)しい数」と書いて虚数(きょすう)と呼ばれるものがあります。

虚数は想像上の数であって、簡単な例だと\(x^2 = -1\)の式の\(x\)の解を言います。

要するに、2乗して同じ数を掛けたときにマイナスになる数のことです。虚数は想像上の数で、人が定義(最初に定義したのはかの有名なデカルトといわれている)したため、「そういうもんだ」と思いきるしかありません。

しかし、この虚数が今日の電子機器やコンピュータ、工学全般を支えているといっても過言ではありません

虚数の表し方

虚数は\(i\)を使って表現し、\(i^2=-1\)なので、\(i=\sqrt{-1}\)となります。

この\(i\)は、方程式の\(x\)や、円周率\(\pi\)同様に記号として扱い、数の後ろにつけて計算し、最後に\(i^2\)があればそれを\(-1\)に置き換えるだけです。

以下に例題を示してみます。

\begin{eqnarray}
(2+2i)^2+(2-3i) &=& 4+8i+4i^2+2-3i \\
&=& 6 + 5i + 4i^2 \\
&=& 6 + 5i + 4 \times (-1) \\
&=& 2 + 5i
\end{eqnarray}

と、このように使って式を計算します。

複素数

先ほどの計算結果の\(2+5i\)ですが、\(2\)は実数で\(5i\)は虚数であることがわかります。

このように、一つの式で\(a+bi\)のように実数と虚数が入り混じっているもの複素数と呼び、\(a\)を実部、\(bi\)を虚部、\(i\)を虚数単位、実部がないものを純虚数、虚部がないものを実数と呼びます。

複素数でできること

今までは実数を数直線上で表し、北と南の方角をつけることで説明をしてきたかと思います。

ここで、数直線上に表せない虚数を使うと何が表現できるようになるか。といわれると、東と西をあらわすことができるようになるのです。

今までは北と南をプラスとマイナスにしていましたが、わかりやすいように縦軸に北と南を持ってきて、北をプラス\(i\)、南を\(-i\)、東をプラス、西をマイナスとします。

たとえば、原点から東に3歩、北に4歩移動した場合、移動後は東に\(3+4i\)の位置にいるといったように表現できます。

ここから\(a\)歩東に進む場合は\(+a\)、北に進む場合は\(+ai\)、西に進む場合は\(-a\)、南に進む場合は\(-ai\)のように表現します。

チョロ
チュチュ!(これで東方向を基準(+)にするだけで東西南北が表せるんでチュね!)

数の種類

複素数を学んだところで、今まで紹介した数を全部まとめることができます。

といいますのも、今まで取り扱った数は全て複素数に含まれていて、その中に集団があってそれぞれの特徴に基づいてカテゴライズされていたわけです。

改めてそれを図で表すと以下のようになります。

このようにカテゴリごとにまとめて描いた図を、考案したジョン・ベンの名前をとってベン図と呼びます。

エピローグ

チョロ
チューチュー(一口に数字といってもこんなに種類があるでチュね。驚きでチュ)。

モナ
そうだニャ~。数字の世界は深いニャ。

チョロ
チュチュー?(これ以外にも数字の種類ってあるでチュ?)

モナ
あるにはあるニャ。ただこの話は難しいからまた今度にするニャ。

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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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