[基礎数学]数の種類(有理数・無理数)

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プロローグ

チョロ
チュー・・・。
モナ
そんな悲しそうな顔してどうしたニャ?
チョロ
チュ・・・(大事にしていたヒマワリの種を落として割っちゃったチュウ)
モナ
これは見事に真っ二つニャ・・・でもどうせ食べるなら変わらないニャ?
チョロ
チュウ・・・(それもそうでチュけど・・・)。
モナ
良い機会だニャ!これを基に今回は分数でも学んでみるニャ!

小数と分数

今まで取り扱ってきた数字は整数と呼ばれ、とても扱いやすいものです。

それらを直線状に並べると下図のようになります。

このように並べることで整数を表す点と点の間にも何かがある事がわかります。

小数

小数の代表的な例は最初にもあげた消費税が分かりやすいのではないでしょうか。

\(60\)円の物を買ったら今の税率が\(8\)%なので、\(60 \times 1.08 = 64.8\)となって、\(64\)円と\(65\)円の間にある事が分かります。

分数

分数の簡単な例としては果物が半分ある時にどう表現するか、と言った時に役に立ちますね。

リンゴが半分だけ残っているときに、リンゴは全くないとも、1個あるとも言えず、ちょうどその中間。

\(\frac{1}{2}\)個あると言った表現をします。

この分数の表現は1つの物を2つに分けているという意味から\(1÷2\)を単体の数で表していることになります。

なので例えば6個のリンゴを二人で分けるときは一人当たり\(\frac{6}{2}\)個という表現も、\(6÷2\)個という表現も正しく、割り算と分数は同じ意味をあらわしているのです。

ここで小数と分数、互いに整数と整数の間にあり似たような性質を持つ事が分かります。

ここで違いを挙げるなら、\(1\div3\)をそれぞれ小数と分数で表した時に\(0.3333・・・\)となるか、\(\frac{1}{3}\)となるかの違いで、数単体で見た場合は分数の方がすっきりし、感覚的に量が分かりやすいと言った性質を持ちます。

逆に、二つの数を見比べる場合、\(\frac{4}{7}\)と\(\frac{3}{5}\)ではどちらが大きいかと聞かれた場合、通分する手間が生じてしまい、\(\frac{20}{35}\)と\(\frac{21}{35}\)で後者の方が大きい事が分かりますが、最初から小数で表されていた場合、\(0.5714・・・\)と\(0.6\)なので後者の方が大きいと見ただけで分かります

有理数と無理数

先ほど、小数と分数の共通点や違いを挙げましたが、一番大きな違いとして分数では表示できず、小数でのみ表せる数が存在します。

分数で表示できる数字を有理数、小数でのみしか表せない数字を無理数と言います。

有理数

有理数とは、分数で表示される数、正確にいえば、整数を整数で割ってできる数の事で、英語では「rational number(=比率で表せる数)」と呼ばれます。

2と5を比べると言った意味で\(\frac{2}{5}\)のように表示されています。

整数の場合もその数を1で割ってやれば、同じ数が導き出せるため有理数と言えます。(例:\(\frac{5}{1}=5\))

小数と無理数

分数を小数にする場合はそのまま割り算をしてやれば良くて、\(\frac{1}{4}\)なら\(1\div4=0.25\)のようになります。

このように小数部分が続かない小数を有限小数と呼びます。

その他に、先ほど例に挙げた\(1\div3=0.333・・・\)のように同じ値が永遠に続く値を無限小数、\(2\div7=0.285714285714・・・\)のようにある数(285714)が繰り返される小数を循環小数と言います。

これ以外の小数は分数では表すことができず、無理数と呼ばれます。

具体的な例では円周率\(\pi\)や後述の\(\sqrt{2}\)があります。

円周率\(\pi\)は小学校では3.14(もしくは3)、中学以降ではそのまま\(\pi\)と並びますが、本来は3.141592・・・と永遠に続き、今でもスーパーコンピュータにより求められ続けています。

\(\sqrt{2}\)は習った当初「一夜一夜に人見頃」のように語呂合わせで覚えたかと思いますが、これも延々と1.41421356237・・・と続いており、無理数です。

実数

今までに扱ってきた自然数、ゼロ、負の数そして今回触れた分数の有理数、小数でのみ表せる無理数を全て含み実数と呼びます。

エピローグ

チョロ
チューチュッ(割った方が食べやすいでチュウ!それに小さいからあまり太らなさそうでチュ)!
モナ
いやいや・・・それだけ食べたら太るニャ・・・
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投稿者: TS

ゲームと数学のこと書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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