[基礎数学]0.999・・・と1は違うのか

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唐突ですが、次の式を分数を使わずに計算してみましょう。

\[1 \div 3 \times 3\]

答えは\(0.999・・・\)と永遠に\(9\)が続いていきます。

ある数字を同じ数で割って同じ数で掛けているのにどうして元に戻らないのでしょうか。今回はそんな疑問に関する考え方をご紹介します。

小数と分数の概念

この問題を解く際に、ちょっと意地悪な条件を付けてみました。それは分数を使わずにと言ったところです。

分数と小数では表せる数字の形が異なるためこのように違いが出てくるのです。

\(1 \div 3 \times 3\)を小数であらわす場合、\(9\)が永遠と無限に続くことになるので表し切れないと言った意味で・・・と表現しているのです。

小数と分数の表し方について詳しく知りたい場合は下記のページをご覧ください。

[基礎数学]数の種類(有理数・無理数)
プロローグチュー・・・。そんな悲しそうな顔してどうしたニャ?チュ・・・(大事にしていたヒマワリの種を落として割っちゃったチュウ)これは見事に真っ二つニャ・・・でもどうせ食べるなら変わらないニャ?チュウ・・・(それもそうでチュけど・・・)。良い機会だニ...

全体を1としてみるから解けない

小学校で掛け算、割り算を学んだ時にお子さんが算数に興味がある場合、ほぼ間違いなくこの\(0.999・・・=1\)の壁にぶつかり、親御さんを含めた大人たちに鋭い質問が飛んでくるのではないでしょうか。

その時は全体を\(1\)と言う\(3\)で割り切れない数で割っているから無限に小数が続くということを説明してあげましょう。

それでも分からないという場合は\(1\)を\(1\)日に置き換えるような説明をすると案外すんなり納得してくれるものです(根本的な解決にはなっていませんが。)

\(1\)日で計算する場合、\(1\)日を\(3\)で割ると\(8\)時間で、そこに\(3\)を掛けると\(24\)時間となってしっかりと\(1\)日に戻ります。

これは\(10\)進数から\(24\)進数へとすり替えることで割れる数で割りなおしているため無限小数になることを避けています。

進数に関するページは以下をご覧ください。

[情報数学]進数変換の方法とツール
日常生活において、私達が最もなじんでいる数え方は10進数だと思います。しかし、今回はコンピュータを扱う上では学ぶべき数の数え方である2進数に加え、\(A\)から\(F\)を用いた16進数、それ以外の任意の数を数えるn進数の考え方、変換方法などを説明します。チュ?(...

極限を使う

この先は範囲が高校・大学にまで飛躍します。

\(0.999・・・\)は\(0.9+0.09+0.009+・・・\)と表すことができるので、無限級数で下のように書き直すことができます。

\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^k}\]

今回は途中の計算を省きますが、これを解くと\(1\)になります。

まとめ

今回はよく論題にされる\(0.999・・・\)と\(1\)は等しいかどうかと言うことについて触れました。

結論としてはこの論題は正しく、\(・・・\)の部分が無限に続いているという点がミソになります。

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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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