命題(逆・裏・対偶)

スポンサーリンク

プロローグ

チョロ
チュウチュウ!(ド・モルガンのところで出てきた命題をもっと詳しく知りたいでチュ)
モナ
わかったニャ!だったらラクの好きなゲームを例えに見ていくニャ!

命題

命題の定義

命題とは「真偽のはっきりとした文章や式」を表し、主に「○○は××である」や、「○○ならば××である」のように表現します。

この「真偽のはっきりとした」の指す意味としては主観的ではなく、決定的なものや事象に限ります

例えば、「ピカチュウは強い」は、「強い」の判断基準が人によって曖昧のため命題とはなりません。

しかし、「ピカチュウは電気タイプだ」は決定的なもので、命題となります。

また、「ピカチュウはドラゴンタイプだ」のように正しくないことでも、偽の命題となります。

チョロ
チャ~

これを一般的な形で表すと

命題:\(P\)(仮定) \(\Rightarrow Q\)(結論)

のように書きます。

先ほどの例に当てはめると「ピカチュウは」が仮定となり、「電気タイプだ」や「ドラゴンタイプだ」が結論となるわけですね。

真と偽

命題が正しいときはと呼び、正しくないときはと呼びます。

先ほどの例で「ピカチュウは電気タイプだ」は正しいので真、「ピカチュウはドラゴンタイプだ」は正しくないので偽となります。

真の時は必ず以下の式が成り立ちます。

真のとき \(P \subset Q\)

この式が表す意味は\(P\)といった集合があるとき、その全てが\(Q\)に当てはまっていれば真で、一つでも当てはまらないことがあれば偽となります。

例を挙げると、「ピカチュウは電気タイプだ」は、数十匹、数百匹のピカチュウを捕まえたとして、電気タイプ以外のピカチュウを捕まえることはまずありません。

このように何回施行を重ねても仮定が結論に当てはまる場合を真といいます。

しかし「ピカチュウ」と「電気タイプ」を入れ替えて、「電気タイプならばピカチュウだ」だったらどうでしょうか。

複数の電気タイプのポケモンをランダムに捕まえてそのうちの数匹はピカチュウかも知れませんが、それ以外の電気タイプも捕まえた中に必ずいます。

そういった全ての事象に当てはまらない場合は偽となります。

反例

命題が偽であることを証明するには、仮定から結果が成り立たない例を一つ見つけるだけで問題ありません。

例えば「電気タイプならばピカチュウだ」の成り立たない理由として、「電気タイプの中にはピチューもいる」からと答えれば命題が偽だとわかります。

これを数学の例で見てみると、「\(X^2=3\)ならば\(X=\sqrt{3}\)である。」が命題ならば、「\(X^2=3\)のときの\(X\)の解には\(-\sqrt{3}\)」もあるため命題は偽と言った具合になります。

このように、成り立たない例の事を反例と呼びます。

逆・裏・対偶

先ほどのピカチュウの例で、「ピカチュウなら」を\(P\)(仮定)、「電気タイプである」を\(Q\)(結論)としていました。

そのときは命題が成立していましたが、その順番を入れ替えた場合の「電気タイプなら」\(Q\)(結論)、「ピカチュウである」\(P\)(仮定)は成り立ちませんでした。

このように仮定と結論を入れ替えた現象をと言います。

命題:\(P \Rightarrow Q\)に対し、
逆:\(Q \Rightarrow P\)

\(P\)(仮定)が「ピカチュウである」を意味するとき、「ピカチュウではない」はどのように表しますか?

チョロ
チュウ・・・(確か否定を表す場合は・・・\(\overline{P}\)でチュ!)

正解です。

仮定、結論ともに否定をした場合、命題の裏と呼びます。

命題:\(P \Rightarrow Q\)に対し、
裏:\(\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}\)

先ほどの「ピカチュウは電気タイプである」の裏は「ピカチュウでないならば、電気タイプではない」となります。

この事についてはピカチュウ以外にもいくらでも電気タイプはいるので偽となります。

対偶

対偶とは命題の裏を取って逆にしたもの(逆にしてから裏を取っても良い)で、下記のように表せます。

命題:\(P \Rightarrow Q\)に対し、
対偶:\(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\)

くどいようですが、ピカチュウの例に例えてみるならば「電気タイプでないならば、ピカチュウではない」となります。

これはピカチュウは電気タイプしかいないことから、電気タイプでないならば、そのポケモンはピカチュウではないことが分かります。

よって真となりますね。

ここから命題が真のとき、対偶も真であるように思えます。

これはベン図を用いてどうなるか見てみましょう。

命題が真の場合、\(P \subset Q\)となるので下図のようになります。

しっかりと\(Q\)の領域内に\(P\)の領域が収まっています。

ではこれの対偶となる\(\overline{Q}\)と\(\overline{P}\)の関係についてみてみましょう。

\(\overline{Q}\)の領域は下図の様になります。

また、\(\overline{P}\)の領域は下図の通りです。

この領域を合わせると下図のようになります。

この図を見れば分かるとおり、\(\overline{P}\)の領域内に\(\overline{Q}\)がしっかりと収まっていることが分かります。

よって、命題:\(\Rightarrow Q\)が真ならば\(\overline{Q} \rightarrow \overline{P}\)は真であることが言えます。

同様に逆と裏も対偶の関係で、逆が偽であれば裏も偽、逆が真であれば裏も真が成り立ちます。下に図を示します。

エピローグ

チョロ
チュ~(命題が真だったらその対偶も真になるんでチュね。不思議でチュ~。)
モナ
実際に周りの事象で例えてみると良いかもニャ。
スポンサーリンク