数の集合

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プロローグ

キュー
あー、忙し忙し。
チョロ
チュ?(どうしたでチュ?)
キュー
今度な、アニマルテレビで漫才やるんやけど、バンドもかけもちしてるさかい練習が追いつかんのや。
チョロ
チュウチュウ・・・(それは大変でチュね・・・)
モナ
まさに漫才とバンドの積集合ってやつニャ。
チョロ
チュ~?(積集合?)

集合とは

数の集合とはある一定の決まりごとにまとめた数のグループを言います。

今までの例ですと、\(1\)や\(2\)や\(3\)は自然数、\(\sqrt{3}\)や\(\pi\)は無理数。

\(3i\)や\(-5i\)は虚数といった集合(グループ)に分けられていましたね。

補集合と部分集合

以下の図に、\(1\)から\(14\)までの数字で、\(A=2\)の倍数、\(B=4\)の倍数、それ以外の数を具体例に集合の基礎知識をまとめてみます。

赤色の楕円で囲まれた部分\(A\)が\(2\)の倍数の集合をあらわしていて、その中に属している\(2\)や\(4\)などを要素、またはと呼び、\(\{2,4\}\)のように表します。

それ以外の、黒枠の中で、赤枠の外の緑色の数字を\(A\)の補集合とよび、\(\overline{A}\)(エー・バー)と表記します。

要素、\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)、\(12\)、\(14\)は集合\(A\)に属していると言い、\(\{2,4,6,8,10,12,14\}\in A\)と表記します。

また、\(A\)の楕円の中にある紫色の楕円\(B\)があり、これも集合です。

このようにAの中にさらにある集合を部分集合と言い、\(4\)、\(8\)、\(12\)は\(A\)の部分集合\(B\)の要素です。

つまりここでは、4の倍数は2の倍数でもあり、さらに限定的なものであるということです。

このような状態は、\(B \subset A\)と表し、Aの要素とBの要素がまったく同じになった場合は\(A = B\)と表します。

和集合と積集合

次に、\(1\)から\(14\)までの数字で、\(A=2\)の倍数、\(C=3\)の倍数とした場合を考えてみます。

すると図のようにお互いに重なり合う部分が出てくることがわかります。

ここで\(A\)には\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)、\(12\)、\(14\)が、\(C\)には\(3\)、\(6\)、\(9\)、\(12\)が要素として属しています。

この、集合\(A\)と\(B\)の要素すべてを含む集合和集合と言い、\(A\cup C\)と表します。

また、重なった紫色の数字の部分、つまり\(A\)にも\(C\)にも属している要素の集合積集合とよび、\(A\cap C\)と表します。

この例では

\(A\cup C=\{2,3,4,6,8,9,10,12,14\}\)

\(A\cap C=\{6,12,\}\)

となるわけですね。

空集合

集合であってもそこに何も要素を持たない集合もあります。

たとえば先ほどの\(1\)から\(14\)の要素が集まる集合の中で\(15\)の倍数の集合は要素を持ちません。

このような集合を空集合とよび、\(\phi\)(ファイ)と表します。

エピローグ

チョロ
チュチュチュウ~(さっきの積集合ってそういう意味だったチュね。でも、記号が\(\cup\)と\(\cap\)で似ていてごっちゃになりそうチュウ・・・)
キュー
せやったらええ覚え方があるで。
チョロ
チュチュチュ?(どんな方法でチュ?)
キュー
まず\(\cap\)やけど、これはCap(キャップ)って読むんや。つまり帽子やな、形もまんまやし。
チョロ
チュチュ!(確かにそう見えるでチュ!)
キュー
でな、帽子って頭に被るもんやろ?積集合も・・・数字が被るもんや!
チョロ
チュチュ!(なるほどでチュウ!確かにそれなら覚えやすいチュ!)
キュー
次に\(\cup\)はCup(カップ・コップ)やで、掬い上げるから要素が多くなるやなってイメージ持っとくと覚えやすいで。
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