逆三角関数

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今回は三角関数の逆関数である、逆三角関数について説明します。

導入

モナ
さて、この前は三角関数と逆関数の勉強を勉強したニャ。今日は何を勉強するかわかるかニャ?
チョロ
チュウ?(新しい関数でチュ?)
キュー
I Have a 逆関数、I Have a 三角関s・・・
モナ
それ以上は自主規制ニャ!
チョロ
チュウ!(要するに二つの要素を混ぜた逆三角関数でチュね!)

逆三角関数とは

逆関数の定義として、\(x\)と\(y\)が\(1:1\)対応ならその関数には逆関数が存在すると以前説明しました。

逆関数
今回は高校数学のおさらいになりますが1対1対応の関数における逆関数について説明します。■目次 導入 逆関数とは 更に深く学びたい方へ まとめ導入今日は逆関数に関する勉強をするニャ。チュ?(逆関数?)そうニャ。簡単に言ってしまえばある関数の\(x\)と\(y\)が...

そして、\(x\)と\(y\)が全体を通して\(1:1\)対応でなくとも、定義域を設けてその区間において\(1:1\)対応のときも逆関数は定義できましたね。

\(\sin x\)の逆関数

※以下において、元々の関数を\(f\)とし、赤線で、逆関数を\(g\)として青線でグラフ上に表すこととします。

\(y = \sin x\)は、\(y\)の値\((-1 \leq y \leq 1)\)に対して無数の\(x\)が対応しますが、これも\(x\)の定義域を\((-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2})\)に指定すると\(1:1\)対応の関数になります。

\[y = \sin x (-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2},-1 \leq y \leq 1)\]

従ってその定義域では\(\sin x\)は逆関数が存在し、その求め方は\(x\)と\(y\)を入れ替えて、\[x = \sin y\]さらに\(y = \)の形に直すと

\[y = \sin^{-1} x\]

が得られます。\(x\)と\(y\)の値の範囲も逆転していることに注意しましょう。\((-1 \leq x \leq 1,-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2})\)


この\(\sin^{-1} x\)は、アークサイン\(x\)と読みます。

では同様に\(y = \cos x\)、\(y = \tan x\)の逆関数も見てみましょう。

\(\cos x\)の逆関数

\(y = \cos x\)に関して、\(1:1\)対応になるのは\((0 \leq x \leq \pi)\)の範囲なので

\[y = \cos^{-1} x\]\[(-1 \leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq \pi)\]

となります。

読み方はアークコサイン\(x\)となりますね。

\(\tan x\)の逆関数

\(y = \tan x\)に関して、\(1:1\)対応になるのは\((-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2})\)の範囲なので

\[y = \tan^{-1} x\]\[(-\infty \leq x \leq \infty , -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2})\]

となります。

読み方はアークタンジェント\(x\)となりますね。

逆三角関数を用いた例題

では具体例を挙げて見てみましょう。

次の値を求めよ。
(1).\(\sin^{-1}\frac{1}{2}\)
(2).\(\tan^{-1} (-1)\)
(3).\(\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3\)

解答は以下のように求めます。
(1) \(\sin^{-1}\frac{1}{2} = \alpha \)と置くと、\(\sin \alpha = \frac{1}{2} \)となります。これより\(\alpha = \frac{\pi}{6}\)

従って、

\[\sin^{-1}\frac{1}{2}= \frac{\pi}{6}\]

(2) \(\tan^{-1}(-1) = \alpha \)と置くと、\(\tan \alpha = 1 \)となります。これより\(\alpha = \frac{3\pi}{4}\)

従って、

\[\tan^{-1}(-1)= \frac{3\pi}{4}\]

(3)これが一番面白いところなのですが、逆関数同士の演算をするときはそのまま三角関数の公式を使います

三角関数の公式
今回も高校数学のおさらいになりますが、特に大学数学でも用いるような三角関数の公式をまとめています。■目次 導入 三角関数の基本公式 更に深く学びたい方へ まとめ導入今日は三角関数のおさらいニャ。チュ!(基本公式は覚えたでチュ!)3倍角の公式もすらすら...

\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l} \tan^{-1}2 = \alpha・・・①\\ \tan^{-1}3 = \beta・・・②\end{array} \right. \end{eqnarray}

とすると、

\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l} ①より、\tan \alpha = 2 \\ ②より、\tan \beta = 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}

忘れていけないのが\(\alpha\)と\(\beta\)の取り得る範囲で、\(\alpha\)が\((\tan \alpha > 0 より、0 < \alpha < \frac{\pi}{2})\)、\(\beta\)が\((\tan \beta > 0 より、0 < \beta < \frac{\pi}{2})\)となることに注意しましょう。

ここから、\(\tan\)の加法定理を用いて、先に\(\tan(\alpha + \beta)\)の値を求めます。

\begin{eqnarray}
\tan(\alpha + \beta) &=& \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta} \\
&=& \frac{2 + 3}{1 – 2 \cdot 3} \\
&=& -1
\end{eqnarray}

また、先ほどの\(\alpha\)と\(\beta\)の取り得る値から、\(0 < \alpha + \beta < \pi\)となるので、\(\tan(\alpha + \beta)=-1(0 < \alpha + \beta < \pi)\)となります。

これを解いて\(\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}・・・③\)

\(①\)と\(②\)を\(③\)に代入することで、

\[\tan^{-1}2 + \tan^{-1}3=\frac{3\pi}{4}\]

が得られました。

このように、逆関数の加算の場合は加法定理を用い、なおかつそれぞれの値のとりうる範囲にも注意しましょう。

更に深く学びたい方へ

今回は逆三角関数の初歩的な部分を取り扱いました。更に詳しく勉強したい場合は以下の書籍がわかりやすくオススメです。

また、例題をもっと解いてみたいと思う方には同じ著者が編集した問題集もあります。

大学数学を勉強しなおしたい社会人の方や、大学生の方で試験の対策にはかなり役に立つのではないでしょうか。

まとめ

チョロ
チュ~・・・。(中々難しいでチュ・・・)
モナ
とっかかりは難しいかもしれないけど、一つ一つもとの形に直すとわかりやすくなるニャ。
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投稿者: TS

ゲームと数学のことを主に書いてます! アドバイスやご指摘があれば是非お願いします!!

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